الرياضيات المتناهية الأمثلة

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 > 0$

خطوة 1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$25 x^{3} + 75 x^{2} - 36 x - 108 = 0$

خطوة 2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(25 x^{3} + 75 x^{2}) - 36 x - 108 = 0$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$25 x^{2} (x + 3) - 36 (x + 3) = 0$

خطوة 2.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 3$ .

$(x + 3) (25 x^{2} - 36) = 0$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $25 x^{2}$ بالصيغة ${(5 x)}^{2}$ .

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 36) = 0$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$(x + 3) ({(5 x)}^{2} - 6^{2}) = 0$

خطوة 2.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 5 x$ و $b = 6$ .

$(x + 3) ((5 x + 6) (5 x - 6)) = 0$

خطوة 2.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 3 = 0$

$5 x + 6 = 0$

$5 x - 6 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 4.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $5 x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $5 x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x + 6 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$5 x = - 6$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $5 x = - 6$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = - 6$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{6}{5}$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $5 x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $5 x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x - 6 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$5 x = 6$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $5 x = 6$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = 6$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{6}{5}$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 3) (5 x + 6) (5 x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = - 3, - \frac{6}{5}, \frac{6}{5}$

خطوة 8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$

$x > \frac{6}{5}$

خطوة 9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 9.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$25 {(- 6)}^{3} + 75 {(- 6)}^{2} - 36 \cdot - 6 - 108 > 0$

خطوة 9.1.3

الطرف الأيسر $- 2592$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 9.2

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < - \frac{6}{5}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < - \frac{6}{5}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 9.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$25 {(- 2)}^{3} + 75 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2 - 108 > 0$

خطوة 9.2.3

الطرف الأيسر $64$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 9.3

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 9.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$25 {(0)}^{3} + 75 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 - 108 > 0$

خطوة 9.3.3

الطرف الأيسر $- 108$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 9.4

اختبر قيمة في الفترة $x > \frac{6}{5}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > \frac{6}{5}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 9.4.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$25 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2} - 36 \cdot 4 - 108 > 0$

خطوة 9.4.3

الطرف الأيسر $2548$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 9.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ صحيحة

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ خطأ

$x > \frac{6}{5}$ صحيحة

$x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ صحيحة

$- \frac{6}{5} < x < \frac{6}{5}$ خطأ

$x > \frac{6}{5}$ صحيحة

خطوة 10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 3 < x < - \frac{6}{5}$ أو $x > \frac{6}{5}$

خطوة 11

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(- 3, - \frac{6}{5}) \cup (\frac{6}{5}, \infty)$

خطوة 12